Показательное уравнение.2^x+3^x+4^x=9^x

Показательное уравнение.2^x+3^x+4^x=9^x...

Показательное уравнение.2^x+3^x+4^x=9^x
Чтобы отвечать на вопросы, необходимо зарегистрироваться или авторизоваться.
Мегамозг
12 Января 2017
http://tex.z-dn.net/?f=2%5Ex%2B3%5Ex%2B4%5Ex%3D9%5Ex%5C%5C4%5Ex%3D%282%5E2%29%5Ex%3D2%5E%7B2x%7D%3D%282%5Ex%29%5E2%5C%5C9%5Ex%3D%283%5E2%29%5Ex%3D3%5E%7B2x%7D%3D%283%5Ex%29%5E2%5C%5C2%5Ex%2B3%5Ex%3D9%5Ex-4%5Ex%5C%5C2%5Ex%2B3%5Ex%3D%283%5Ex%29%5E2-%282%5Ex%29%5E2%5C%5C2%5Ex%2B3%5Ex%3D%283%5Ex-2%5Ex%29%283%5Ex%2B2%5Ex%29%5C%5C2%5Ex%2B3%5Ex%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%5C%5C3%5Ex-2%5Ex%3D1" id="TexFormula1" onerror="texError(this)" title="2^x+3^x+4^x=9^x\\4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2\\9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\\2^x+3^x=9^x-4^x\\2^x+3^x=(3^x)^2-(2^x)^2\\2^x+3^x=(3^x-2^x)(3^x+2^x)\\2^x+3^x\ \textgreater \ 0\\3^x-2^x=1" alt="2^x+3^x+4^x=9^x\\4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2\\9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\\2^x+3^x=9^x-4^x\\2^x+3^x=(3^x)^2-(2^x)^2\\2^x+3^x=(3^x-2^x)(3^x+2^x)\\2^x+3^x\ \textgreater \ 0\\3^x-2^x=1" align="absmiddle" class="latex-formula">

Очевидно, что x=1 является решением: 3¹ - 2¹ = 3 - 2 = 1.
Исследуем функцию http://tex.z-dn.net/?f=y%3D3%5Ex-2%5Ex-1" id="TexFormula2" onerror="texError(this)" title="y=3^x-2^x-1" alt="y=3^x-2^x-1" align="absmiddle" class="latex-formula"> на монотонность:
http://tex.z-dn.net/?f=y%27+%3D+3%5Ex%5C%2Cln3-2%5Ex%5C%2Cln2" id="TexFormula3" onerror="texError(this)" title="y' = 3^x\,ln3-2^x\,ln2" alt="y' = 3^x\,ln3-2^x\,ln2" align="absmiddle" class="latex-formula">
http://tex.z-dn.net/?f=3%5Ex%5C+%5Ctextgreater+%5C+2%5Ex%5C%5Cln3%5C+%5Ctextgreater+%5C+ln2" id="TexFormula4" onerror="texError(this)" title="3^x\ \textgreater \ 2^x\\ln3\ \textgreater \ ln2" alt="3^x\ \textgreater \ 2^x\\ln3\ \textgreater \ ln2" align="absmiddle" class="latex-formula">
значит, y' для всех x строго больше 0, т.е. функция является строго возрастающей, т.е. у нее не более одного корня.

Ответ: x=1 - единственное решение.
...